【題目】如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．
【答案】（1）16;（2）當x=2時，DM有最大值為1.
【解析】
（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數.
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的二次函數，求出DM的最大值.
解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF.
∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）.
∴AE=BF.∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數.
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP.
∴
，即
.
∴
.
∵
＜0，當x=2時，DM有最大值為1.
小題狂做系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我市自開展“學習新思想，做好接班人”主題閱讀活動以來，受到各校的廣泛關注和同學們的積極響應，某校為了解全校學生主題閱讀的情況，隨機抽查了部分學生在某一周主題閱讀文章的篇數，并制成下列統計圖表.
某校抽查的學生文章閱讀的篇數統計表
文章閱讀的篇數(篇) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7及以上 |
人數(人) | 20 | 28 | m | 16 | 12 |
請根據統計圖表中的信息，解答下列問題:
(1)求被抽查的學生人數和
的值；
(2)求本次抽查的學生文章閱讀篇數的中位數和眾數；
(3)若該校共有800名學生，根據抽查結果估計該校學生在這一周內文章閱讀的篇數為4篇的人數.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某養雞場有5000只雞準備對外出售。從中隨機抽取了一部分雞，根據它們的質量（單位：kg），繪制出如下的統計圖①和圖②。請根據相關信息，解答下列問題：
Ⅰ.圖①中
的值為 ；
Ⅱ.求統計的這組數據的平均數、眾數和中位數；
Ⅲ.根據樣本數據，估計這5000只雞中，質量為1.0kg的約為多少只？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某中學抽取了40名學生參加“平均每周課外閱讀時間”的調查，由調查結果繪制了如下不完整的頻數分布表和扇形統計圖.
組別 | 時間/小時 | 頻數/人數 |
A組 |
| 2 |
B組 |
| m |
C組 |
| 10 |
D組 |
| 12 |
E組 |
| 7 |
F組 |
| 4 |
頻數分布表
請根據圖表中的信息解答下列問題：
（1）求頻數分布表中m的值；
（2）求B組，C組在扇形統計圖中分別對應扇形的圓心角度數，并補全扇形統計圖；
（3）已知F組的學生中，只有1名男生，其余都是女生，用列舉法求以下事件的概率：從F組中隨機選取2名學生，恰好都是女生。
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我市某校為了讓學生的課余生活豐富多彩，開展了以下課外活動：
代號 | 活動類型 |
A | 經典誦讀與寫作 |
B | 數學興趣與培優 |
C | 英語閱讀與寫作 |
D | 藝體類 |
E | 其他 |
為了解學生的選擇情況，現從該校隨機抽取了部分學生進行問卷調查（參與問卷調查的每名學生只能選擇其中一項），并根據調查得到的數據繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖提供的信息回答下列問題（要求寫出簡要的解答過程）．
（1）此次共調查了 名學生．
（2）將條形統計圖補充完整．
（3）“數學興趣與培優”所在扇形的圓心角的度數為 ．
（4）若該校共有2000名學生，請估計該校喜歡A、B、C三類活動的學生共有多少人？
（5）學校將從喜歡“A”類活動的學生中選取4位同學（其中女生2名，男生2名）參加校園“金話筒”朗誦初賽，并最終確定兩名同學參加決賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出剛好一男一女參加決賽的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為了解“哈啰單車”的使用情況，小月對部分用戶的騎行時間t（分）進行了隨機抽查，將獲得的數據分成四組（A：
；B：
；C：
；D：
），并繪制出如圖所示的兩幅不完整的統計圖．
（1）求D組所在扇形的圓心角的度數，并補全條形統計圖；
（2）小月打算在C、D兩組中各隨機選一名用戶進行采訪，若這兩組中各有兩名女士，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一男一女的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖表示的是某班部分同學衣服上口袋的數目．
①從圖中給出的信息得到學生衣服上口袋數目的中位數為 ，眾數為 ．
②根據如圖信息，在給出的圖表中繪制頻數條形統計圖，由此估計該班學生衣服上口袋數目為
的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（8分）某體育館計劃從一家體育用品商店一次性購買若干個氣排球和籃球（每個氣排球的價格都相同，每個籃球的價格都相同）．經洽談，購買1個氣排球和2個籃球共需210元；購買2個氣排球和3個籃球共需340元．
（1）每個氣排球和每個籃球的價格各是多少元？
（2）該體育館決定從這家體育用品商店一次性購買氣排球和籃球共50個，總費用不超過3200元，且購買氣排球的個數少于30個，應選擇哪種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少元？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知直線
與拋物線
相交于A，B兩點，且點A（1，－4）為拋物線的頂點，點B在x軸上。
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標。
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