Question

21、如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線相交于O點，延長BD分別至E、F點，使得BE=DF，
求證：
（1）AF=CE；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，要證明AF=CE，放到所在的兩個三角形中，運用全等證明可以或運用平行四邊形的性質，證明四邊形AFCE是平行四邊形也可．
（2）根據平行四邊形的判定方法可以有不同的思路：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∴AF=CE．（平行四邊形的對邊相等）
（2）由（1）可知，四邊形AECF是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系．