Question

【題目】如圖已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），AB⊥y軸，AC⊥x軸，OA，BC交于點P，若正方形OCAB以O為位似中心在第一象限內放大，點P隨正方形一起運動，當PQ達到最小值時停止運動．以PQ的長為邊長，向PQ的右側作等邊△PQD，求在這個位似變化過程中，D點運動的路徑長（　　）

A. 5B. 6C. 2D. 4

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖，連接OQ，以OQ為邊向下作等邊△OQH，連接DH，作QE⊥OA交OA的延長線于E．證明△OQP≌△HQD，點D的運動路徑的長＝點P的運動路徑的長，求出直線OA，EQ的解析式,聯立方程求出點E的坐標，求解即可.

解：如圖，連接OQ，以OQ為邊向下作等邊△OQH，連接DH，作QE⊥OA交OA的延長線于E．

∵△OQH，△PQD都是等邊三角形，

∴QO＝QH，QP＝QD，∠OQH＝∠PQD＝60°，

∴∠OQP＝∠HQD，

∴△OQP≌△HQD（SAS），

∴OP＝DH，

∴點D的運動路徑的長＝點P的運動路徑的長，

∵直線OA的解析式為y＝x，Q（5，7），QE⊥OA，

∴直線EQ使得解析式為y＝﹣x+12，

由 解得

∴E（6，6），

∵P（1，1），

∴

根據垂線段最短可知，當點P與點E重合時，PQ的長最短，

∴點P的運動路徑的長為

∴點D的運動路徑的長為

故選：A．