Question

如圖①至圖④，半徑為1的⊙O均無滑動滾動，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置．
【閱讀理解】

（1）如圖①，⊙O從⊙O₁的位置出發，沿AB滾動到⊙O₂的位置，當AB=2π時，圓心O經過的路徑長為2π．
（2）如圖②，∠ABC相鄰的補角∠CBA=n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由⊙O₁的位置旋轉到⊙O₂的位置，⊙O繞B點旋轉的角∠O₁BO₂=n°，此時，圓心O經過的路徑弧O₁O₂的長為

nπ

180

．
【實踐應用】
（1）在閱讀理解（1）中，若AB=π時，則圓心O經過的路徑長為

π

；在閱讀理解（2）中，若∠ABC=120°時，則圓心O經過的路徑弧O₁O₂的長為

π

3

．
（2）如圖③，∠ABC=90°，AB=BC=π．⊙O從⊙O₁的位置出發，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動到⊙O₄的位置，在這個過程中，圓心O經過的路徑長為

5π

2

．
【拓展聯想】
（1）如圖④，△ABC的周長為4π，⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△AABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，在這個過程中，圓心O經過的路徑長為

6π

．
（2）如圖⑤，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，在這個過程中，圓心O經過的路徑長為

l+2π

．

Answer 1

分析：實踐應用：
（1）由閱讀理解（1）可得，圓心O經過的路徑長為AB的長度；由閱讀理解（2）可得圓心O經過的路徑弧O₁O₂的長為

∠O1BO2π

180

；
（2）圓心O經過的路徑長為O₁O₂+弧O₂O₃+O₃O₄的長度，根據兩段閱讀材料，計算即可．
拓展聯想：
（1）主要是根據閱讀材料（2）計算完成三個拐點所走的路程，然后再計算所走總路程即可；
（2）主要是根據閱讀材料（2）計算完成多個拐點所走的路程，然后再計算所走總路程即可；

解答：解：實踐應用：
（1）若AB=π時，則圓心O經過的路徑長為π；在閱讀理解（2）中，若∠ABC=120°時，則∠O₁BO₂=60°，
則圓心O經過的路徑弧O₁O₂的長為

60π

180

=

π

3

．
（2）圓心O經過的路徑長為=O₁O₂+弧O₂O₃+O₃O₄=π+

90π

180

+π=

5π

2

；
拓展聯想：
（1）圓心O經過的路徑長=AB+AC+BC+

(180°-∠ABC)π

180

+

(180°-∠ACB)π

180

+

(180-∠CAB)π

180

=4π+

360π

180

=6π；
（2）圓心O經過的路徑長=多邊形周長+

多邊形外角和×π

180

=l+2π．

點評：本題考查了圓的綜合題，屬于閱讀型題目，解答本題的需要仔細閱讀材料，獲取信息，利用弧長的計算公式，多邊形的外角和定理求解，是一道探索規律題，找準規律是關鍵．