Question

已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共斜邊AC，M、N分別是AC、BD的中點，且M、N不重合，請你畫出圖形后回答，線段MN與BD是否垂直？并請說明理由．若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=8cm，求MN的長．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形后可知本題有兩種情況，即B、D在線段AC的同側和B、D在線段AC的異側．
解答：解：如圖一：連接BM、MD，延長DM，過B作DM延長線的垂線段BE，
則可知在Rt△BEM中∠EMB=30°，
∵AC=8，∴BM=4，
∴BE=2，EM=2，MD=4，
從而可知BD=，
∴MN=cm，

如圖二：連接BM、MD，延長AD，過B作垂線段BE，在Rt△BED中，可知∠EDB=60°，
令ED=x，則BE=x，AD=4，AB=4，
∴可得：，
解得，
∴MN==（+）cm．
點評：本題考查了勾股定理的應用及直角三角形的相關知識，解決此題很容易漏掉另外一種情況．