Question

已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共斜邊AC，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，且M、N不重合，請(qǐng)你畫(huà)出圖形后回答，線段MN與BD是否垂直？并請(qǐng)說(shuō)明理由．若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=8cm，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形后可知本題有兩種情況，即B、D在線段AC的同側(cè)和B、D在線段AC的異側(cè)．

解答：解：如圖一：連接BM、MD，延長(zhǎng)DM，過(guò)B作DM延長(zhǎng)線的垂線段BE，
則可知在Rt△BEM中∠EMB=30°，
∵AC=8，∴BM=4，
∴BE=2，EM=2

3

，MD=4，
從而可知BD=

22+(2 3 +4)2

=4

2+ 3

，
∴MN=

42-(2 2+ 3 )2

=(

6

-

2

)cm，

如圖二：連接BM、MD，延長(zhǎng)AD，過(guò)B作垂線段BE，在Rt△BED中，可知∠EDB=60°，
令ED=x，則BE=

3

x，AD=4

2

，AB=4

3

，
∴可得：(4

3

)2=(

3

x)2+(x+4

2

)2，
解得x=

6

-

2

，
∴MN=

42-x2

=（

6

+

2

）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用及直角三角形的相關(guān)知識(shí)，解決此題很容易漏掉另外一種情況．