Question

猜想、探究題：
（1）觀察與發現
小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．你認為△AEF是什么形狀的三角形？
（2）實踐與運用
將矩形紙片ABCD（AB＜BC）沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖③）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）．
猜想△EBG的形狀，證明你的猜想，并求圖⑤中∠FEG的大小．

Answer 1

分析：（1）第一次折疊，AC落在AB邊上，則折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；第二次折疊，A、D重合，則∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AD=AD；易證得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根據第二次折疊所得到的AE=DE、AF=FD，可證得四邊形AEDF的四邊相等，利用等腰三角形的判定方法即可得到△AEF為等腰三角形．
（2）根據折疊的性質得到四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45°；∠BEG=∠DEG=67.5°，而AD∥BC，得∠BGE=∠DEG，則△EBG為等腰三角形，得到∠FEG=67.5°-45°=22.5°．

解答：解：（1）證明：連接DE、DF，如圖，
由第一次折疊可知：AD為∠CAB的平分線，∴∠1=∠2，
由第二次折疊可知：∠CAB=∠EDF，∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
在△AED與△AFD中，

∠1=∠2 AD=AD ∠3=∠4

，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；

（2）△EBG的形狀是等腰三角形．理由如下：
由折疊知，四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
∴∠BED=

1

2

×（180°-45°）=135°．
又由折疊知，∠BEG=∠DEG=

1

2

∠BED=67.5°，
又∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠BEG，
∴BG=BE，
即△EBG為等腰三角形．
又∵∠BEF=45°，
∴∠FEG=67.5°-45°=22.5°．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了三角形相似的判定與性質．