Question

探究題：
（1）觀察下列各式：

1 1 3

=2

1 3

；

2 1 4

=3

1 4

；

3 1 5

=4

1 5

．
①猜想

4 1 6

的變形結果并驗證；
②針對上述各式反映的規律，給出用n（n為任意自然數，且n≥1）表示的等式，并進行證明．
（2）把閱讀下面的解題過程：
已知實數a、b滿足a+b=8，ab=15，且a＞b，試求a-b的值．
解：∵a+b=8，ab=15
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=64
∴a²+b²=34
∴（a-b）²=a²-2ab+b²=34-30=4
∴a-b=

4

=2．
請你仿照上面的解題過程，解答下面的問題：已知實數x滿足x+

1

x

=

8

，且x＞

1

x

，試求x-

1

x

的值．

Answer 1

分析：（1）中，注意觀察左邊的被開方數是一個帶分數，其分數部分的分子是1，分母比其整數部分大2．右邊的結果根號外的比左邊的整數部分大1，根號內的是左邊的分數部分；
（2）中，顯然根據：（a-b）²=（a+b）²-4ab．進行求值計算．

解答：解：（1）①猜想：

4 1 6

=5

1 6

，驗證如下：
左邊=

25 6

=5

1 6

=右邊，等式成立；
②根據規律，可以表示為：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，驗證如下：
左邊=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右邊，等式成立；

（2）∵x+

1

x

=

8

，
∴（x-

1

x

）²=（x+

1

x

）²-4=8-4=4
又x＞

1

x

，
∴x-

1

x

=2．

點評：特別注意：（x-

1

x

）²=（x+

1

x

）²-4．熟悉完全平方公式之間的聯系．