Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ；連接PQ，PQ與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F，連接CQ．求證：

（1）CQ=AP；

（2）△APB∽△CEP．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意可知AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，利用“SAS”證明△ABP≌△CBQ，根據全等三角形的性質即可證明；

（2）由正方形的性質得∠BAC=∠BCA=45°，從而∠APB+∠ABP=135°.由旋轉的性質△PBQ是等腰直角三角形，從而∠APB+∠CPQ=135°，由等量代換可得∠CPQ=∠ABP，進而可證△APB∽△CEP．

證明：（1）如圖，∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP．