Question

已知一元二次方程kx²+x+1=0
（1）當它有兩個實數根時，求k的取值范圍；
（2）問：k為何值時，原方程的兩實數根的平方和為3？

Answer 1

分析：（1）用一元二次方程根的判別式求出k的取值范圍，因為是一元二次方程，所以k≠0．（2）利用根與系數的關系寫出兩根和與兩根積，代入兩根的平方和為3的等式中求出k值．

解答：解：（1）∵方程有兩個實數根，
∴△=1-4k≥0且k≠0．
故k≤

1

4

且k≠0．

（2）設方程的兩根分別是x₁和x₂，則：
x₁+x₂=-

1

k

，x₁x₂=

1

k

，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
=

1

k2

-

2

k

=3，
整理得：3k²+2k-1=0，
（3k-1）（k+1）=0，
∴k₁=

1

3

，k₂=-1．
∵k≤

1

4

且k≠0，
∴k=

1

3

（舍去）．
故k=-1．

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，（1）題用判別式求出k的范圍，因為是一元二次方程，所以二次項系數不為0．（2）根據根與系數的關系，用k的式子表示兩根的和與兩根的積，然后代入兩根的平方和等于3的等式，求出k的值，對不在取值范圍內的值要舍去．