Question

19．畢達哥拉斯學派對“數”與“形”的巧妙結合作了如下研究：

名稱圖形 幾何 點數	三角形	正方形	五邊形	六邊形
第1層	1	1	1	1
第2層	2	3	4	5
第3層	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第n層

（1）六邊形第5層的幾何點數是17；第n層的幾何點數是4n-3．
（2）在第6層時，六邊形的幾何點數是三角形的幾何點數的3.5倍．

Answer 1

分析 （1）觀察六邊形時，前三層的幾何點數分別是1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，可得第5層的幾何點數及第n層的幾何點數；
（2）首先得出三角形第n層點數是n，然后根據六邊形的幾何點數是三角形的幾何點數的3.5倍，列方程、解方程可得．

解答 解：（1）∵六邊形第1層幾何點數：1=4×1-3；
六邊形第2層幾何點數：5=4×2-3；
六邊形第3層幾何點數：9=4×3-3；
∴六邊形第5層幾何點數為：4×5-3=17，
六邊形第n層幾何點數為：4n-3；
（2）∵三角形第一層點數為1，第二層點數為2，第三層點數為3，
∴三角形第n層的幾何點數為n；
由六邊形的幾何點數是三角形的幾何點數的3.5倍，得
4n-3=3.5n，解得n=6；
則在第6層時，六邊形的幾何點數是三角形的幾何點數的3.5倍．
故答案為：（1）17，4n-3；（2）6．

點評 本題主要考查圖形的變化問題，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解是解題關鍵．