Question

20．如圖，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB=90°，將△ABE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDF．
（1）在圖中畫出點(diǎn)O和△CDF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過程；
（2）若AE=12，AB=13，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；
（2）首先過點(diǎn)O作OG⊥OE與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△EAO≌△GBO（ASA），得出△GEO為等腰直角三角形，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：連接AC，BD，交于點(diǎn)O．連接EO并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使OF=OE，連接DF，CF，

（2）如圖所示：過點(diǎn)O作OG⊥OE與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD為正方形
∴OA=OB，∠AOB=∠EOG=90°
∴∠AOE=∠BOG
在四邊形AEBO中
∠AEB=∠AOB=90°
∴∠EAO+∠EBO=180°=∠EBO+∠GBO
∴∠GBO=∠EAO，
∴在△EAO和△GBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠EAO=∠GBO\\ OA=OB\\∠AOE=∠BOG\end{array}\right.$
∴△EAO≌△GBO（ASA），
∴AE=BG，OE=OG．
∴△GEO為等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（EB+BG）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（EB+AE）
=$\frac{{17\sqrt{2}}}{2}$
∴EF=$17\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出△GEO為等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．