Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD
（1）試說明CE=CF．
（2）△BCE與△DCF全等嗎？試說明理由．
（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的長．

Answer 1

解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF．

（2）△BCE≌△DCF．
理由是：
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴△BCE與△DCF都是直角三角形，
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∵，
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；

（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BE=DF，
∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴∠F=∠CEA=90°，
∵AC平分∠BAF，
∠FAC=∠EAC，
在△FAC和△EAC中
∵，
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AE=AF，
設BE=x，則AE=21-x，DF=x，AF=9+x，
∴21-x=9+x，
∴x=6，即BE=6，
在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，
∴由勾股定理得：CE=8．
分析：（1）根據角平分線性質推出即可；
（2）根據HL證出兩直角三角形全等即可；
（3）根據全等三角形性質推出AF=AE，DF=BE，設BE=x，則AE=21-x，DF=x，AF=9+x，得出方程21-x=9+x，求出BE，根據勾股定理求出CE即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和角平分線定義，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．