Question

如圖：在不等邊△ABC中，PM⊥AB，垂足為M，PN⊥AC，垂足為N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列結論：①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②

C．②③

D．①

Answer 1

分析：利用“HL”證明△APM和△APN全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=AM；全等三角形對應角相等可得∠PAM=∠PAN，再根據等邊對等角可得∠PAN=∠APQ，從而得到∠PAM=∠APQ，然后根據內錯角相等，兩直線平行可得QP∥AM；欲證△BMP和△QNP全等，須得BP=PQ=AQ，從而得到AC=BC，而此條件無法得到，所以，兩三角形不一定全等．

解答：解：∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
在Rt△APM和Rt△APN中，
∵

AP=AP PM=PN

，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴AN=AM，故①正確；
∠PAM=∠PAN，
∵PQ=QA，
∴∠PAN=∠APQ，
∴∠PAM=∠APQ，
∴QP∥AM，故②正確；
假設△BMP≌△QNP，
則BP=PQ，
∵PQ=QA，
∴BP=PQ=AQ，
又∵QP∥AM，
∴AC=BC，
此條件無法從題目得到，
所以，假設不成立，故③錯誤．
綜上所述，正確的是①②．
故選B．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等邊對等角的性質，比較復雜，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．