Question

如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上的點，且CE=AC
（1）求∠ACE、∠CAE的度數；
（2）若AB=3cm，請求出△ACE的面積；
（3）以AE為邊的正方形的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據正方形的對角線平分一組對角求出∠ACB=45°，再根據鄰補角的定義列式計算即可求出∠ACE，根據等邊對等角的性質可得∠CAE=∠E，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和進行計算即可求出∠CAE；
（2）根據勾股定理列式求出AC的長，即CE的長，然后利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出AE，再根據正方形的面積公式列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-45°=135°，
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E，
∵∠CAE+∠E=∠ACB，
∴∠CAE=

1

2

∠ACB=

1

2

×45°=22.5°；

（2）∵AB=3cm，
∴根據勾股定理得，AC=

32+32

=3

2

cm，
∴CE=AC=3

2

cm，
故△ACE的面積=

1

2

CE•AB=

1

2

×3

2

×3=

9 2

2

cm²；

（3）在Rt△ABE中，BE=3+3

2

，
所以，AE=

AB2+BE2

=

32+(3+3 2 )2

=

36+18 2

，
所以，以AE為邊的正方形的面積=AE²=（

36+18 2

）²=（36+18

2

）cm²．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及勾股定理的應用．