Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經過點B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設直線y=kx+4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x2（x1＜x2），當時，求k的值；

（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2時，求出點P的坐標．

（坐標平面內兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+x；（2）k=1；（3）P（﹣2，﹣2+2）．

【解析】（1）先利用對稱軸公式得出b=4a，進而利用待定系數法即可得出結論；

（2）先利用根與系數的關系得出，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，轉化已知條件，代入即可得出結論；

（3）先判斷出OB=2PQ，進而判斷出點C是OB中點，再求出AB解析式，判斷出PC∥AB，即可得出PC解析式，和拋物線解析式聯立解方程組即可得出結論．

（1）根據題意得，，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2+x；

（2）∵直線y=kx+4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x2，

∴x2+x=kx+4，

∴x2﹣4（k﹣1）x﹣16=0，

根據根與系數的關系得，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，

∵，

∴2（x1﹣x2）=x1x2，

∴4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，

∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（x1x2）2，

∴4[16（k﹣1）2+64]=162，

∴k=1；

（3）如圖，取OB的中點C，

∴BC=OB，

∵B（4，8），

∴C（2，4），

∵PQ∥OB，

∴點O到PQ的距離等于點O到OB的距離，

∵S△POQ：S△BOQ=1：2，

∴OB=2PQ，

∴PQ=BC，∵PQ∥OB，

∴四邊形BCPQ是平行四邊形，

∴PC∥AB，

∵拋物線的解析式為y=x2+x①，

令y=0，

∴x2+x=0，

∴x=0或x=﹣4，

∴A（﹣4，0），

∵B（4，8），

∴直線AB解析式為y=x+4，設直線PC的解析式為y=x+m，

∵C（2，4），

∴直線PC的解析式為y=x+2②，

聯立①②解得，（舍）或，

∴P（﹣2，﹣2+2）．