Question

一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個側面ABCD（是一個長方形）倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設AB=a，BC=b，AC=c．
（1）試用a、b有關的代數式表示梯形BCC′D′的面積；
（2）試用a、b、c有關的代數式分別表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面積；
（3）由（1）和（2）的結論證明勾股定理：a²+b²=c²．

Answer 1

分析：（1）根據梯形面積公式表示梯形BCC′D′的面積；
（2）根據三角形面積公式分別表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面積；
（3）根據S_{梯形BCC′D′}=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC，列出方程并整理可證．

解答：解：（1）梯形BCC′D′的面積=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab；
（2）S_Rt△CC'A=

1

2

c²，S_Rt△ABC=S_Rt△AD′C=

1

2

ab；
（3）由圖形可知S_{梯形BCC′D′}=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC，
則

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

c²+2×

1

2

ab
∴

1

2

（a²+b²）+ab=

1

2

c²+ab．
因此，a²+b²=c²．

點評：本題考查了勾股定理的證明，需注意：組成的圖形的面積有兩種表示方法：大的面積的表示方法和各個組成部分的面積的和．