Question

如圖所示，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）2-．

【解析】

試題分析：（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據等腰三角形的性質即可證明；

（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

試題解析：（1）證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．

∴CD是⊙O的切線．

（2）【解析】
∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，

∵=tan60°，

∴CD=2．

∴SRt△OCD=OC×CD=×2×2=2．

∴圖中陰影部分的面積為：2-．

考點：1．扇形面積的計算；2．等腰三角形的性質；3．切線的判定；4．特殊角的三角函數值．