Question

對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：
||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，則||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）然后代入驗(yàn)證顯然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正確．
對(duì)于②平方后不能消除x，y，命題不成立；
對(duì)于③在△ABC中，用坐標(biāo)表示|AC|+|CB|然后根據(jù)絕對(duì)值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．
解答：解：對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
對(duì)于①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），x在x₁、x₂之間，y在y₁、y₂之間，
則|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正確．
對(duì)于②平方后不能消除x，y，命題不成立；
對(duì)于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|．③不一定成立
∴命題①成立，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查新定義的問(wèn)題，對(duì)于此類型的題目需要認(rèn)真分析題目的定義再求解，切記不可脫離題目要求．屬于中檔題目．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘記等號(hào)也可以成立．