Question

【題目】已知，在菱形ABCD中，G是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，點(diǎn)E、F是AG上兩點(diǎn)，連接DE，BF，且知∠ABF=∠AGB，∠AED=∠ABC．

（1）若點(diǎn)G在邊BC上，如圖1，則：

①△ADE與△BAF______；（填“全等”或“不全等”或“不一定全等”）

②線段DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）若點(diǎn)G在邊BC的延長線上，如圖2，那么上面（1）②探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明這三條線段之間又怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）①全等；②DE=BF+EF；（2）DE=BF-EF，見解析

【解析】

(1)①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠BGA=∠DAE，等量代換得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BF，DE=AF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

(2)與(1)同理證△ABF≌△DAE得AE=BF，DE=AF，由AF=AE-EF=BF-EF可得答案．

(1)①∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AD∥BC，

∴∠BGA=∠DAE，

∵∠ABC=∠AED，

∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，

∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，

∴∠ABF=∠DAE，

∵AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)；

②∵△ABF≌△DAE，

∴AE=BF，DE=AF，

∵AF=AE+EF=BF+EF，

∴DE=BF+EF．

故答案為：全等，DE=BF+EF；

(2)DE=BF-EF，

如圖，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AD∥BC，

∴∠BGA=∠DAE，

∵∠ABC=∠AED，

∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，

∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，

∴∠ABF=∠DAE，

∵AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)；

∴AE=BF，DE=AF，

∵AF=AE-EF=BF-EF，

則DE=BF-EF