Question

（14分）如圖，以直角坐標系的原點O為圓心作⊙O，點M、N是⊙O上的兩點，M（-1，2），N（2，1）

（1）試在x軸上找點P使PM+PN最小，求出P點的坐標；

（2）若在坐標系中另有一直線AB，A（10，0），點B在y軸上，∠BAO=30°，⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，問圓在運動過程中與該直線有公共點的時間有長？

Answer 1

（1）（1，0）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）作點N關于x軸的對稱點Q，連結M、Q交x軸于點P，則P就是使PM+PN最小的點，根據關于x軸對稱的點的坐標特點求出Q點的坐標，用待定系數法求出直線MQ的解析式，求出當y=0時x的值即可得出P點坐標；

（2）M（﹣1，2）在圓O上，所以根據勾股定理可求出⊙O的半徑，再根據OA=10，∠BAO=30°可得出原點O到直線AB的距離為5，當圓運動到圓心到直線AB的距離等于半徑時圓與直線AB相切，此時可求出圓心O可在點A左側或右側與A的距離，再由⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動即可得出結論．

試題解析：（1）如圖1所示，作點N關于x軸的對稱點Q，連結M、Q交x軸于點P，則P就是使PM+PN最小的點，

∵N（2，1），∴Q（2，﹣1），設直線MQ的解析式為（），∵M（﹣1，2），Q（2，﹣1），

∴，解得：，∴直線MQ的解析式為：，∵當y=0時，x=1，∴P點坐標為（1，0）；

（2）∵M（﹣1，2）在圓O上，∴圓O的半徑=，

∵OA=10，∠BAO=30°，∴原點O到直線AB的距離為5，

∴當圓運動到圓心到直線AB的距離OD=時圓與直線AB相切當⊙O在直線AB的左側時，如圖2所示：∵∠BAO=30°，∴OA=，

同理，當⊙O在直線AB的左側時，圓心與點A的距離也等于，

∵⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，∴相交時間=（秒）．

答：圓在運動過程中與該直線相交的時間有秒．

考點：圓的綜合題．