Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點，例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點，同樣，點D也是A，B兩點的勾股點。
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

圖1

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A， B兩點的勾股點的個數；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm，動點P從D點出發沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動，設運動時間為t（s） ，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上。
①當t=4時，求PH的長；
②探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）。

圖2

Answer 1

解：（1）尺規作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點）；
（2）4個；
（3）①當t=4時，PH=或PH=2或PH=3；
②當0≤t＜4時，有2個勾股點；
當t=4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5時，有4個勾股點；
當t=5時，有2個勾股點；
當5＜t＜8時，有4個勾股點；
當t=8時，有2個勾股點，
綜上所述，當0≤t＜4或t=5或t=8時，有2個勾股點；當t=4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點。