Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A、B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A、B兩點的勾股點．同樣，點D也是A、B兩點的勾股點．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，邊CD上A，B兩點的勾股點的個數為

3

個；
（2）如圖1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．過點P作直線l平行于BC，點H為M、N兩點的勾股點，且點H在直線l上，求PH的長；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點F、G，若A、E兩點的勾股點為BC邊的中點M，求折痕FG的長．

Answer 1

分析：（1）A，B兩點的勾股點有C、D，以及CD的中點；
（2）點H為M、N兩點的勾股點，則分∠HNM=90°，∠HMN=90°，∠MHN=90°三種情況進行討論，依據相似三角形的性質即可求得PH的長；
（3）A、E兩點的勾股點為BC邊的中點M，則應分∠AEM=90°和∠AME=90°兩種情況進行討論，當∠AEM=90°時，根據勾股定理可以得到AD²+DE²+CE²+CM²=BM²+AB²，設CE=x，即可得到關于x的方程，求得CE的長，然后利用勾股定理求得FG的長；
當∠AME=90°時，由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點M，設CE=x，則AE=x+12，在Rt△ADE中利用勾股定理即可求得CE的長，從而求得FG的長．

解答：解：（1）A，B兩點的勾股點有C、D，以及CD的中點，共3個，
故答案是：3；
（2）當∠HNM=90°時，PH=

11

2

；
當∠HMN=90°時，PH=2；
當∠MHN=90°時，

4

PH

=

6-PH

1

，
∴PH=3±

5

；
（3）當∠AEM=90°時，AD²+DE²+CE²+CM²=AE²+EM²=AM²=BM²+AB²，
設CE=x，則6²+（12-x）²+x²+3²=3²+12²，
∴x=6±3

2

，
∵折痕分別與CD、AB交于點F、G，
∴x=6+3

2

；
當∠AME=90°時，由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點M，設CE=x，AE=x+12，
在Rt△ADE中，6+（12-x）²=（12+x）²，
∴CE=

3

4

，∴DE=

45

4

，AE=

51

4

，
∵△ADE∽△FOE，
∴

OF

6

=

51 8

45 4

，
∴OF=

17

5

，
∴FG=

34

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，正確根據相似三角形的性質把求線段的長的問題轉化成方程問題是關鍵，體現了方程思想的應用．