Question

（2012•崇安區一模）如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數．
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．動點P從D點出發沿著DC方向以1 cm/s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設運動時間為t（s），點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．
①當t=4時，求PH的長．
②探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點就是A，B兩點在CD上的勾股點；
（2）當矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，此時以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點；
（3）①如圖，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：
當∠MHN=90°時，根據已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對應線段成比例即可求出PH；
當∠H''NM=90°時，設PH=x，那么H''Q=4-x，根據勾股定理得到PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，而MN=

42+32

=5，依次即可求出PH''；
當∠H'MN=90°時，根據勾股定理得到H'P²+PM²+QH'²+QN²=MN²，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的結果可以探究滿足條件的點H的個數及相應t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點E就是所勾股點；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點4個；

（3）①如圖，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，
當∠MHN=90°時，
∵∠MPH=∠HQN=90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN=PM：HQ，
而PH+HQ=BC=4，
∴PH=2；
當∠H''NM=90°時，設PH=x，那么H''Q=4-x
依題意得PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，
而MN=

42+32

=5，
∴PH=

13

4

；
當∠H'MN=90°時，QH'²+QN²-（H'P²+PM²）=MN²，
而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，
∴PH=3．
∴PH=

13

4

或PH=2或PH=3．
②當0≤t＜4時，有2個勾股點；
當t=4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5時，有4個勾股點；
當t=5時，有2個勾股點；
當5＜t＜8時，有4個勾股點；
當t=8時，有2個勾股點．
綜上所述，當0≤t＜4或t=5或t=8時，有2個勾股點；當t=4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點．

點評：此題比較復雜，難度很大，綜合性比較強，是一個探究性試題，利用了直角三角形的性質、勾股定理、相似三角形的性質、等多個知識點，對于學生是能力要求很高，解題關鍵是正確理解題目所給材料，然后充分利用材料解題．