Question

已知：a+

1

a

=2，求an+

1

an

（n為自然數）的值．下面是小明和小亮的討論：
（1）小明發現：取n=0時，原式=1+1=2；
（2）小亮發現：
∵a+

1

a

=2
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4
∴a2+

1

a2

=2，
請你參考他們的提示，完成解答．

Answer 1

分析：分n為奇數和n為偶數兩種情況討論即可求出an+

1

an

（n為自然數）的值．

解答：解：取n=0時，原式=1+1=2；
取n=1時，a+

1

a

=2；
取n=2時，∵a+

1

a

=2，
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4，
∴a2+

1

a2

=2；
取n=2時，a³+

1

a3

=（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）=2；
…
故an+

1

an

=2．

點評：本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式對解題大有幫助，注意括號內兩個數互為倒數．