Question

如圖所示，邊長為2的等邊三角形OBA的頂點A在x軸的正半軸上，B點位于第一象限．將△OAB繞點O順時針旋轉30°后，得到△OB′A′，點A′恰好落在雙曲線y=（k≠0）上．
（1）在圖中畫出△OB′A′；
（2）求雙曲線y=（k≠0）的解析式；
（3）等邊三角形OB′A′繞著點O繼續按順時針方向旋轉______度后，A′點再次落在雙曲線上？（ 直接將答案填寫在橫線上即可，不需要說明理由 ）

Answer 1

解：（1）畫圖如圖所示；

（2）設A′B′與x軸交于點M，
由題意可知：OA=2，∠MOA′=30°
∴AM=1，
由勾股定理得：OM=，
∴A′點的坐標為（，-1），
∵A′恰好落在雙曲線y=（k≠0）上，
∴k=-
∴雙曲線的解析式為：y=-；

（3）30．
分析：（1）旋轉中心為O點，旋轉角為30°，旋轉方向為順時針，由此畫出圖形；
（2）根據三角形的軸對稱性及所畫圖形，由勾股定理求OM，MA′，確定A′的坐標，可求雙曲線解析式；
（3）雙曲線y=-關于直線y=-x軸對稱，可求A′（，-1）點關于直線y=-x的軸對稱點，再判斷這個點是否在雙曲線上．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用，旋轉的性質．關鍵是通過坐標系里的圖形旋轉，特殊三角形的性質，求點的坐標，確定雙曲線的解析式．