Question

7．如圖．把直角三角形ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到△A″B″C′的位置上，已知BC=1，∠A=30°．則頂點A運動到A″的位置時，點A經(jīng)過的路線有多長？點A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積有多大？

Answer 1

分析 （1）點A經(jīng)過的路線長是兩段弧長，利用弧長公式計算．
（2）點A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是兩個扇形的面積加上一個直角三角形的面積，按扇形面積公式和三角形面積公式計算．

解答 解：（1）Rt△ABC中，BC=1，∠A=30°，
則可得AB=2，AC=$\sqrt{3}$，∠CBA=60°，∠ABA′=120°，
則點A到A″所經(jīng)過的路線為：，l_弧AA′+l_弧A′A″=$\frac{120π×2}{180}$+$\frac{90π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

（2）點A經(jīng)過的路線與直線l圍成的面積為：$\frac{120π•{2}^{2}}{360}$+$\frac{90π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{25π}{12}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查弧長公式、扇形面積公式，在做這道題時，分清這兩個弧長，扇形的圓心角和半徑分別是多少是解題的關鍵．