Question

【題目】如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,正方形OABC的邊長為2cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B和D（4，）．

（1）求拋物線的表達式．

（2）如果點P由點A出發沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動,同時點Q由點B出發,沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動,當其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動．設S=PQ2（cm2）．

①試求出S與運動時間t之間的函數關系式,并寫出t的取值范圍;

②當S取時，在拋物線上是否存在點R,使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標;如果不存在,請說明理由．

（3）在拋物線的對稱軸上求點M,使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：;

（2）①S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;

②存在.R點的坐標是（3,﹣）;

（3）M的坐標為（1,﹣）．

【解析】

試題（1）設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐標代入即可;

（2）①由勾股定理即可求出;②假設存在點R,可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形,求出P、Q的坐標,再分為兩種種情況：A、B、C即可根據平行四邊形的性質求出R的坐標;

（3）A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M,求出直線BD的解析式,把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標．

試題解析：（1）設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,

∵正方形的邊長2,

∴B的坐標（2,﹣2）A點的坐標是（0,﹣2）,

把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,

解得a=,b=﹣,c=﹣2,

∴拋物線的解析式為：,

答：拋物線的解析式為：;

（2）①由圖象知：PB=2﹣2t,BQ=t,

∴S=PQ2=PB2+BQ2,

=（2﹣2t）2+t2,

即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．

答：S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;

②假設存在點R,可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形．

∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,

∴當S=時,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,

解得t=,t=（不合題意,舍去）,

此時點P的坐標為（1,﹣2）,Q點的坐標為（2,﹣）,

若R點存在,分情況討論：

（i）假設R在BQ的右邊,如圖所示,這時QR=PB,RQ∥PB,

則R的橫坐標為3,R的縱坐標為﹣,

即R（3,﹣）,

代入,左右兩邊相等,

∴這時存在R（3,﹣）滿足題意;

（ii）假設R在QB的左邊時,這時PR=QB,PR∥QB,

則R（1,﹣）代入,,

左右不相等,∴R不在拋物線上．（1分）

綜上所述,存點一點R（3,﹣）滿足題意．

答：存在,R點的坐標是（3,﹣）;

（3）如圖,M′B=M′A,

∵A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M,

理由是：∵MA=MB,若M不為L與DB的交點,則三點B、M、D構成三角形,

∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,

即M到D、A的距離之差為|DB|時,差值最大,

設直線BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐標代入得：,

解得：k=,b=﹣,

∴y=x﹣,

拋物線的對稱軸是x=1,

把x=1代入得：y=﹣

∴M的坐標為（1,﹣）;

答：M的坐標為（1,﹣）．