Question

如圖所示，將矩形沿折疊，使點恰好落在上處，以為邊作正方形，延長至，使，再以、為邊作矩形．

(1). （2分）試比較、的大小，并說明理由．
(2). （1分）令，請問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由．為定值．
(3). （3分）在（2）的條件下，若為上一點且，拋物線經(jīng)過、兩點，請求出此拋物線的解析式．
(4). （4分）在（3）的條件下，若拋物線與線段交于點，試問在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求直線與軸的交點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），理由如下：
由折疊知：  在中，為斜邊 
故
（2）

（3），，
       

為等邊三角形，
作于．     
 的坐標為
拋物線過點，，
   
所求拋物線解析式為
（4）由（3）：
當時，


方法1：若與相似，
而．則分情況如下
時   為或
時   為或（0，1）
故直線與軸交點的坐標為或或或（0，1）
方法2：與相似時，由（3）得則或，
過點作垂直軸于則或
當時，
當 ，
，

略