Question

如圖1，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？
（2）請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．
請(qǐng)你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)是的邊的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是的黃金分割線．請(qǐng)你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

（1）對(duì)，理由見解析（2）不可能（3）理由見解析（4）見解析

（1）直線是的黃金分割線．理由如下：
　　　設(shè)的邊上的高為．
　　　，，，
　　　所以，，．··············· 2分
　　　又因?yàn)辄c(diǎn)為邊的黃金分割點(diǎn)，所以有．因此．
　　　所以，直線是的黃金分割線．·············· 4分
　　　（2）因?yàn)槿�角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)，即
，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．········ 6分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823021105697587.png" style="vertical-align:middle;" />，所以和的公共邊上的高也相等，
所以有．························· 7分
　設(shè)直線與交于點(diǎn)．所以．
　所以
　，．
　又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823021106196968.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．··········· 9分
　因此，直線也是的黃金分割線．··············· 10分
　（4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；·················· 12分

　畫法一：如答圖1，取的中點(diǎn)，再過點(diǎn)作一條直線分別交，于，點(diǎn)，則直線就是的黃金分割線．
　畫法二：如答圖2，在上取一點(diǎn)，連接，再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則直線就是的黃金分割線．
（1）由于是同高，而點(diǎn)為邊的黃金分割點(diǎn)，則，所以，故直線是的黃金分割線
（2）只需判斷它們面積比是否相等，若相等則中線是三角形的黃金分割線，否則不是
（3）根據(jù)平行線間的距離相等，則，通過圖形面積的轉(zhuǎn)化，直線分三角形的圖形面積有，故直線也是的黃金分割線
（4）畫法不惟一，只需分成圖形面積比相等即可