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如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,對角線AC⊥BD,垂足為F,過點F作EF∥AB,交AD于點E,CF=4cm.

⑴求證：四邊形ABFE是等腰梯形;
⑵求AE的長.

⑴證明略;⑵AE=BF=

（1）過點D作DM⊥AB，根據已知可求得四邊形BCDM為矩形，從而得到DC=MB，因為AB=2DC，從而推出△ABD是等腰三角形，從而得到∠DAB=∠DBA，因為EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB為梯形，從而根據同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形得證；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根據相似三角形的對應邊成比例，可得到AF的長，再根據△BCF∽△ACB，得到BF²=CF•AF，從而求得BF的長，由第一問已證得BF=AE，所以就求得了AE的長

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如圖，在△ABC和△ACD中，在什么條件下，△ABC和△ACD相似?并說明理由

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如圖1，點

將線段

分成兩部分，如果

，那么稱點

為線段

的黃金分割點．
某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線

將一個面積為

的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為

，

，如果

，那么稱直線

為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在

中，若點

為

邊上的黃金分割點（如圖2），則直線

是

的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發現：過點

任作一條直線交

于點

，再過點

作直線

，交

于點

，連接

（如圖3），則直線

也是

的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點

是

的邊

的黃金分割點，過點

作

，交

于點

，顯然直線

是

的黃金分割線．請你畫一條

的黃金分割線，使它不經過

各邊黃金分割點．

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如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點E，∠EBC=2∠C.

(1)求證：AB=AC；(2)當

時，①求tan∠ABE的值；②如果AE=

，求AC的值。

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如圖甲,正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點,P是線段MC上的一個動點(不運動至M,C),以AB為直徑作⊙O,過點P的切線交AD于點F,切點為E。

(1)求四邊形CDFP的周長；(3分)
(2)請連結OF,OP,求證：OF⊥OP；(4分)

(3)延長DC,FP相交于點G,連結OE并延長交直線DC于H(如圖乙).是否存在點P
使△EFO∽△EHG(其對應關系是 )?如果存在,試求此時的BP的長；如果不存在,請說明理由。(5分)

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系內，已知點A(0，6)、點B(8，0)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
(1)求直線AB的解析式；
(2)當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似?
(3)當t=2秒時，求四邊形OPQB的面積．