Question

11．王生是一位善于思考的學生，在一次數學活動課上，他將一副直角三角板如圖位置擺放，A、B、D在同一直線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=4．求：
（1）BD的長；
（2）△BDF的面積．

Answer 1

分析 （1）過點F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和平行線的性質以及等腰直角三角形的性質即可求出BD的長．
（2）根據三角形面積公式可求△BDF的面積．

解答 解：（1）過點F作FM⊥AD于M，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠EFD=30°，
∵DE=4，
∴EF=8，
∴DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴∠FDM=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$DF=2$\sqrt{3}$，
∴MD=$\sqrt{F{D}^{2}-F{M}^{2}}$=6，
∵∠C=45°，
∴∠MFB=∠B=45°，
∴FM=BM=2$\sqrt{3}$，
∴BD=DM-BM=6-2$\sqrt{3}$；
（2）△BDF的面積為$\frac{1}{2}$BD•FM=$\frac{1}{2}$×（6-2$\sqrt{3}$）×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$-6．

點評 本題考查了勾股定理的運用、平行線的性質以及等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是作垂直構造直角三角形，利用勾股定理求出DM的長．