Question

已知：如圖，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.

(1)求證：點D是AB的中點；
(2)判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
(3)若⊙O的直徑為18，cosB＝，求DE的長．

Answer 1

（1）AD＝BD , 即點D是AB的中點（2）DE⊥DO，OD是⊙O的半徑得DE是⊙O的切線
（3）4

試題分析：(1)證明：如圖，連接CD，則CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD , 即點D是AB的中點．

(2)解：DE是⊙O的切線．
理由是：連接OD，則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC.
又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．
(3)  ∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴cos∠B＝cos∠A＝.
∵cos∠B＝＝，BC＝18，∴BD＝6，∴AD＝6.
∵cos∠A＝＝，  ∴AE＝2.
在Rt△AED中，DE＝＝4
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，掌握判定直線與圓的位置關系是解本題的關鍵，此類題屬常考題型