Question

如圖所示，P是⊙O的弦CB延長線上一點，點A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．

(1)求證：PA是⊙O的切線；

(2)若PB∶BC＝2∶3，且PC＝10，求PA的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接AO，并延長交⊙O于D，連接BD，∵AD是直徑， 　　∴∠DBA＝90°． 　　∴∠D＋∠DAB＝90°．又∠D＝∠C＝∠PAB， 　　∴∠DAB＋∠PAB＝90°． 　　即OA⊥PA．而OA是⊙O的半徑， 　　∴PA是⊙O的切線; 　　(2)解：∵∠C＝∠PAB，∠P＝∠P， 　　∴△PAC∽△PBA，∴． 　　又PB∶BC＝2∶3，故BC＝6． 　　∴PB＝10－6＝4．∴PA2＝PB·PC＝4×10＝40． 　　即PA＝2(PA＝－2舍去)．