Question

15、設x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均為正整數，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．試求x₅的最大值．

Answer 1

分析：設x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，利用“換元”思想，令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．則S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；那么t為1或2或3或4或5，而a，b，c，d則為t的約數．然后分類解答：①當t=5時，求得x₅的值；②當t=4或1時，求得x₅的值；③
當t=2時，求得x₅的值．

解答：解：由于x₁、x₂、x₃、x₄、x₅在式中對稱，故不妨設x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
并令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．則S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；
那么t為1或2或3或4或5，而a，b，c，d則為t的約數．
①當t=5時，由于t=1×5，故令x₁=x₂=x₃=1，x₄=5，代入S可得x₅=2，與x₄≤x₅相矛盾，故x₅=2不合題意；
②同理，當t=1或4時均不合題意．當t=3時，x₅=3，符合題意；
③當t=2時，由于t=1×2，令x₁=x₂=x₃=1，x₄=2，代入S可得x₅=5，符合題意；
綜上所述，故x₅的最大值為5．

點評：本題考查了函數的最值問題．解答該題時，借助于“換元”法和“反證法”來求x₅的最大值．