Question

如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=20cm、BD=12cm，兩動點E、F同時分別以2cm/s的速度從點A、C出發在線段AC相對上運動．
（1）求證：當E、F運動過程中不與點O重合時，四邊形BEDF一定為平行四邊形；
（2）當E、F運動時間t為何值時，四邊形BEDF為矩形？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，EB，BF，FD，根據已知可得AE=CF，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可證明四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）應考慮兩種情況：當點E在OA上，點F在OC上時EF=BD=12cm，四邊形BEDF為矩形；當點E在OC上，點F在OA上時，EF=BD=12cm，四邊形BEDF為矩形．
解答：（1）解：連接DE，EB，BF，FD
∵兩動點E、F同時分別以2cm/s的速度從點A、C出發在線段AC相對上運動．
∴AE=CF
∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴OD=OB，OA=OC（平行四邊形的對角線互相平分）
∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC
即OE=OF
∴四邊形BEDF為平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（4分）

（2）當點E在OA上，點F在OC上時EF=BD=12cm，
四邊形BEDF為矩形
∵運動時間為t
∴AE=CF=2t
∴EF=20-4t=12
∴t=2（s）
當點E在OC上，點F在OA上時，EF=BD=12cm
EF=4t-20=12
∴t=8（s）
因此當E、F運動時間2s或8s時，四邊形BEDF為矩形．（10分）
說明：如果學生有不同的解題方法．只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．
點評：此題主要考查平行四邊形、矩形的判定．