Question

（2003•徐州）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上．給出5個論斷：
①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE
（1）如果論斷①、②、③、④都成立，那么論斷⑤一定成立嗎？答：______；
（2）從論斷①、②、③、④中選取3個作為條件，將論斷⑤作為結論，組成一個真命題，那么你選的3個論斷是______（只需填論斷的序號）；
（3）用（2）中你選的3個論斷作為條件，論斷⑤作為結論，組成一道證明題，畫出圖形，寫出已知，求證，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：1、根據已知條件：BE⊥AC，AE=CE，BE=BE可證得△ABC是等腰三角形，再根據等腰三角形的性質求出結論；
2、根據（2）中的三個論斷，可出證明題：
已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30°，求證：CD=BE．
證明：作EF∥CD交AB于F，∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF，∵CD⊥AB，∴EF⊥AB，在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，∴BE=2EF．∴CD=BE．
解答：解：（1）一定；
∵BE⊥AC
∴∠BEC=∠BEA=90°
∵AE=CE  BE=BE
∴△BEC≌△BEA（SAS）
∴BC=BA
又∵∠ABE=30°
∴∠CBA=60°
∴△BCA為等邊三角形
又∵CD⊥AB
∴BD=AD=CE=AE
∴△BDC≌△BEA
∴CD=BE．

（2）①、③、④；

（3）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，CD⊥AB．AE=CE，∠ABE=30°，
求證：CD=BE．
證明：作EF∥CD交AB于F，
∵AE=CE，EF∥CD，
∴AF=FD（一組平行線在一條直線上截的線段相等，那么在其它直線上截的線段也相等），
∴CD=2EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，
∴BE=2EF，
∴CD=BE．
點評：此題的關鍵是要證明三角形是等腰三角形，然后根據其性質求出結論．