Question

4．已知邊長為3的正方形ABCD中，點E在射線BC上，且BE=2CE，連結AE交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B₁處．
（1）如圖1，若點E在線段BC上，求CF的長；
（2）求sin∠DAB₁的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行線性質以及線段比求出CF的值；
（2）根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，根據勾股定理和三角函數的定義即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB∥DF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵BE=2CE，AB=3，
∴$\frac{3}{CF}$=$\frac{2CE}{CE}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$；

（2）若點E在邊BC上，延長AB₁交DC于H，∵∠BAE=∠B₁AE=∠DFE，
∴AH=FH，AE=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
$\frac{EF}{AE}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
設DH=x，CH=3-x，
∵CF=1，5，
∴AH=FH=$\frac{9}{2}$-x，
∵AD²+DH²=AH²，
∴3²+x²=（$\frac{9}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{5}{4}$，
∴DH=$\frac{5}{4}$，AH=$\frac{13}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{5}{13}$；
若點E在邊BC的延長線上，如圖，設直線AB1與CD延長線相交于點N
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，
∴DF=FC=$\frac{3}{2}$，
設DN=x，則AN=NF=x+$\frac{3}{2}$．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+$\frac{3}{2}$）²，
∴x=$\frac{9}{4}$．
∴DN=$\frac{9}{4}$，AN=$\frac{15}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查正方形的性質，線段比以及勾股定理等相關知識的綜合運用，注意兩種情況的分析探討．