Question

求所有的正整數a，b，c，使得關于x的方程x²-3ax+2b=0，x²-3bx+2c=0，x²-3cx+2a=0的所有的根都是正整數．

Answer 1

解：x²-3ax+2b=0可知a，
△=（-3a）²-4×2b=9a²-8b≥0，
因為x是整數，所以設9a²-8b=s²，
（3a+s）×（3a-s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b，
討論：（1）、（3a+s）×（3a-s）=1×8b，
3a+s=1 ①，
3a-s=8b ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=＜0（不符合已知條件），
（2）、（3a+s）×（3a-s）=8b*1，
3a+s=8b ①，
3a-s=1 ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=＜0（不符合已知條件），
（3）、（3a+s）×（3a-s）=2×4b，
（3a+s）=4b ①，
（3a-s）=2 ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（4）、（3a+s）×（3a-s）=2×4b，
（3a+s）=2 ①，
（3a-s）=4b ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得a=b=c=1，x=1，2，
（5）、（3a+s）×（3a-s）=4×2b，
3a+s=4 ①，
3a-s=2b ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（6）、（3a+s）×（3a-s）=4×2b，
3a+s=2b ①，
3a-s=4 ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2；
（7）、（3a+s）×（3a-s）=8×b，
3a+s=8 ①，
3a-s=b ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=，可見a、b、c至少一個不是整數，不符合已知條件；
（8）、（3a+s）×（3a-s）=8×b，
3a+s=b ①，
3a-s=8 ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=，可見a、b、c至少一個不是整數，不符合已知條件；
答：當a=b=c=1時，x=1或2．
分析：首先利用根與系數的關系、及a，b，c均為正整數，得到9a²-8b≥0．因為x是正整數所以設9a²-8b=s²，將其變形為（3a+s）×（3a-s）=8b．再就因數的積等于8b即（3a+s）×（3a-s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b分8種情況討論a、b、c，的符合條件的取值，進而求得x的取值．
點評：本題考查一元二次方程的整數根與有理根、根與系數的關系、因式分解．解決本題的關鍵是利用根與系數的關鍵首先形為（3a+s）×（3a-s）=8b，進而分類討論．