Question

求所有的正整數對（a，b），使得ab²+b+7整除a²b+a+b．

Answer 1

分析：根據已知，將式子變形a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，可得出ab²+b+7|b²-7a，再根據b²-7a的符號分類討論，求出a、b的對應值．

解答：解：由條件ab²+b+7整除a²b+a+b，
顯然ab²+b+7|a²b²+ab+b²，
而a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，故ab²+b+7|b²-7a，
下面分三種情況討論；
情形一：b²-7a＞0；這時b²-7a＜b²＜ab²+b+7，矛盾；
情形二：b²=7a，此時a，b應具有a=7k²，b=7k，k是正整數的形式，顯然（a，b）=（7k²，7k）滿足條件；
情形二：b²-7a＜0，這時由7a-b²≥ab²+b+7，則b²＜7，
進而b=1或2，當b=1時，則條件

a2+a+1

a+8

=a-7+

57

a+8

為正整數，
57能被a+8整除，可知a+8=19或57，進而知a=11或49，
解得（a，b）=（11，1）或（49，1）；
當b=2時，由

7a-4

4a+9

（＜2）為正整數，可知

7a-4

4a+9

=1，此時a=

13

3

，矛盾；
綜上，所有解為（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k²，7k）（k是正整數）．

點評：本題考查了數的整除性，分類討論的思想．關鍵是將原題的整除問題進行轉化，分類求解．