Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作PN∥BC分別交BD，CD于點M,N，連接QM，QN．設運動時間為．解答下列問題：

（1）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？

（2）設的面積為，求與的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻，使的面積為菱形面積的，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（4）是否存在某一時刻，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，當時，的面積為菱形面積的；（4）存在，若時，；若時，；若時，

【解析】

（1）連接，證明得到，根據垂直平分線的性質得出，求出t的值即可；

（2）過點作，垂足為，交于點，由菱形的性質求出，證明，得，再求出，根據三角形面積公式即可得出結論；

（3）假設存在某一時刻，根據的面積為菱形面積的列方程求解即可；

（4）分，，三種情況分別求解即可

解：（1）連接

∴∴

∵∴

∴∴∴

若點在線段的垂直平分線上

∴∴∴

∴當時，點在線段的垂直平分線上．

（2）過點作，垂足為，交于點．

∵

∴

連接，交于點，根據題意，

∴

菱形面積：

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵

∴的高等于

∵四邊形是菱形

∴，

∴

∴

∴與的函數關系式是．

（3）假設存在某一時刻，使的面積為菱形面積的，

則

解得，，（不合題意，舍去）

答：當時，的面積為菱形面積的．

（4）若時，

由（2）得

由題意得，，

∴過Q作于點G，

∵，

∴

在中，

∴；

若時，

過N作于J，如圖，

則，

而

∴；

若時，，

∴．