Question

（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

Answer 1

(2)6

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，

再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，問題得證；

（2）根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，CD=AB=4，再根據勾股定理可求得DE的長，

再由△ADF∽△DEC根據相似三角形的性質求解即可.

試題解析：（1）證明：∵ ABCD，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）【解析】
∵?ABCD，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴，

∴DE===12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE==

=6．

考點：平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理