Question

（2005•云南）已知，如圖，在直角坐標系中O是坐標原點，四邊形AOCB是矩形，0C=6，OA=2，P是邊AB上的任意一點．當點P在邊AB上移動時，是否存在這樣的點P使得OP⊥PC成立？若存在，請求出點P的坐標，畫出滿足條件的P點，并求出經過D、P、C三點的拋物線的對稱軸；若不存在這樣的P點，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題要懂得數形結合．當點P位于A、B點時，結論不成立．但當P點在邊AB上且與A、B點不重合時，連接OP、PC，若有OP⊥PC，則應有△AOP∽△BPC，再求出PA，然后求出OP⊥PC的P點坐標，最后證明拋物線是軸對稱圖形求出對稱軸．
解答：解：在邊AB上存在這樣的點P使得OP⊥PC成立．
顯然當點P位于A、B點時，結論不成立．
當P點在邊AB上且與A、B點不重合時，連接OP、PC，
若有OP⊥PC，
則應有△AOP∽△BPC，PA=3±
當P點分別位于P₁（3-，2）和P₂（3+，2）時，OP⊥PC成立．
以OC的中點M為圓心，半徑長為3畫圓與AB交于P₁、P₂點．
則點P_l、P₂即為所要畫的點已知拋物線的圖象經過坐標原點和點C（6，O）
∵拋物線是軸對稱圖形
∴拋物線的對稱軸是x=3．
點評：本題重點在于考生要懂得數形結合分析問題以及理解拋物線的性質，難度中等．