Question

（2005•云南）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC長為p，BB_l是∠ABC的平分線交AC于點B₁，過B₁作B₁B₂⊥AB于點B₂，過B₂作B₂B₃∥BC交AC于點B₃，過B₃作B₃B₄⊥AB于點B₄，過B₄作B₄B₅∥BC交AC于點B₅，過B₅作B₅B₆⊥AB于點B₆，…，無限重復以上操作．設b=BB_l，b₁=B₁B₂，b₂=B₂B₃，b₃=B₃B₄，b₄=B₄B₅，…，b_n=B_nB_n+1，…．
（1）求b，b₃的長；
（2）求bn的表達式．（用含p與n的式子表示，其中n是正整數）

Answer 1

【答案】分析：（1）能夠根據30°的直角三角形中各邊的關系進行計算：三邊從小到大的比是1：：2，根據這一比值進行計算；
（2）不難發現：當n是正整數時，下一條邊的長度總是上一條邊的長度的倍．
解答：解：（1）b=2p，
在Rt△B₁B₂中，b₁=P，
同理：b₂=，b₃=．

（2）同（1）得：b₄=（）²p，
∴b_n=（）^n-1p（n是正整數）．
點評：此題要非常熟悉30°的直角三角形三邊之間的關系，同時正確理解題意充分發揮已知條件的作用也很重要．