Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長線上，∠B=30°，∠CAD=30°
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，∠OAC=2∠BAC=60°，又∠CAD=30°，即AD⊥OA，AD為切線；
（2）連接OB，由垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)即可證明BC=AC=OA=5，在直角△OAD中，易得AD=5

3

．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=30，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=60°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴直線AD是⊙O的切線；

（2）解：連接OB，
∵OD⊥AB，OB=OA，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OA=BC=OB=5，
在直角△OAD中，∠ODB=30°，
∴OD=10，
∴AD=

OD2-OA2

=

75

=5

3

．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是切線的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明△OBC是等邊三角形．