Question

已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒．
（1）線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形并求出該矩形的面積；
（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t，求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D．當PQ∥AB時即可得出四邊形MNQP是矩形，根據特殊角的三角函數值求出四邊形MNQP的面積；
（2）根據①當0＜t＜1時；②當1≤t≤2時；③當2＜t＜3時，分別求出四邊形MNQP的面積，即四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式．

解答：解：（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AD=2，
當MN運動到被CD垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，
即當AM=

3

2

時，四邊形MNQP是矩形，
∴t=

3

2

秒時，四邊形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=

3

2

3

，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S_{四邊形MNQP}=PM•PQ=

3

2

3

；

（2）①當0＜t≤1時，點P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=

3

AN=

3

（t+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（t+1）]=

3

t+

3

2

；
②當1＜t＜2時，
點P在AC上，點Q在BC上，
PM=

3

t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（3-t）]×1=

3

2

3

；
③當2≤t＜3時，點P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=

3

BM=

3

（4-t），QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（3-t）+

3

（4-t）]=

7

2

3

-

3

t．    
 綜上所述：當0＜t≤1時，S_{四邊形MNQP}=

3

t+

3

2

；當1＜t＜2時，S_{四邊形MNQP}=

3

2

3

；
當2≤t＜3時，S_{四邊形MNQP}=

7

2

3

-

3

t．  （10分）

點評：本題涉及到動點問題，比較復雜，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，由數形結合便可解答，體現了數形結合在解題中的重要作用．