Question

已知在等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且BD=AE，EB與CD相交于點O，EF⊥CD于點F．求證：OE=2OF．

Answer 1

分析：先根據全等三角形的性質得出△ABE≌△BCD，由全等三角形的性質得出∠1=∠2，再根據三角形外角的性質求出∠BOD=60°，進而得出∠EOF=60°，由直角三角形的性質求出∠OEF的度數，故可得出結論．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
在△ABE與△BCD中，
∵

AB=BC ∠A=∠ABC BD=AE

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠ADO是△BCD的外角，
∴∠ADO=∠ABC+∠2=60°+∠2，
∵∠ADO是△BOD的外角，
∴∠ADO=∠1+∠BOD，
∵∠1=∠2，
∴∠BOD=∠ABC=60°，
∴∠EOF=60°，
∵EF⊥CD，
∴∠OEF=90°-∠EOF=90°-60°=30°，
∴OE=2OF．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質及三角形外角的性質，先根據題意得出△ABE≌△BCD是解答此題的關鍵．