Question

如圖：已知在等邊三角形ABC中，點D、E分別是AB、BC延長線上的點，且BD=CE，直線CD與AE相交于點F．
（1）求證：DC=AE；
（2）求證：AD²=DC•DF．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°
在△DBC與△ECA中
∴△DBC≌△ECA（SAS）
∴DC=AE；

（2）∵△DBC≌△ECA，
∴∠DCB=∠EAC
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF
∴
∴AD²=DC•DF．
分析：（1）利用“SAS”證明△DBC≌△ECA即可；
（2）由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D，根據(jù)外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可證△DCA∽△DAF，利用相似比得出結(jié)論．
點評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找角相等的條件．