Question

如圖：已知在等邊三角形ABC中，點D、E分別是AB、BC延長線上的點，且BD=CE，直線CD與AE相交于點F．
（1）求證：DC=AE；
（2）求證：AD²=DC•DF．

Answer 1

分析：（1）利用“SAS”證明△DBC≌△ECA即可；
（2）由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D，根據外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可證△DCA∽△DAF，利用相似比得出結論．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA（2分）
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°（1分）
在△DBC與△ECA中

DB=EC ∠DBC=∠ECA BC=CA

∴△DBC≌△ECA（SAS）（2分）
∴DC=AE；（1分）

（2）∵△DBC≌△ECA，
∴∠DCB=∠EAC（1分）
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF（1分）
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF（2分）
∴

DC

AD

=

AD

DF

（1分）
∴AD²=DC•DF．（1分）

點評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質．關鍵是根據等邊三角形的性質找角相等的條件．