Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑且PA⊥AB，BC是⊙O的一條弦，直線PC交直線AB于點D，．
（1）請判斷△CDB和△PDO是否相似，并說明理由．
（2）求證：直線PC是⊙O的切線．
（3）求cos∠CBA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定推出即可；
（2）連接OC，求出∠COP=∠AOP，證△COP≌△AOP，推出∠OCP=∠OAP=90°，根據切線的判定推出即可；
（3）求出∠CBA=∠POA，設PC=a，則CD=2a，求出AD=2a，DB=BA=a，OA=a，OP=a，通過解直角三角形求出即可．
解答：（1）解：△CDB和△PDO相似，
理由是：∵=，∠D=∠D，
∴△DCB∽△DPO；

（2）證明：連接OC，
∵△DCB∽△DPO，
∴∠DCB=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠CBO=∠POA，∠BCO=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠BCO，
∴∠COP=∠AOP，
在△COP和△AOP中

∴△COP≌△AOP（SAS），
∴∠OCP=∠OAP，
∵PA⊥AB，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∵OC為半徑，
∴直線PC是⊙O的切線；

（3）解：∵BC∥OP，
∴∠CBA=∠POA，
設PC=a，則CD=2a，
∵PA=PC=a，
AD=2a，
∵BC∥OP，
∴=2，
∴DB=BA=a，
∴OA=a，
∴OP=a，
∴cos∠CBA=cos∠POA=．
點評：本題考查了平行線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，解直角三角形的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．